1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; 6) PE: NK; B) SMPE: SMNK

1. Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) MK; б) PE : NK; в) $$S_{MPE} : S_{MNK}$$

Решение:

а) MK = ME + EK

По теореме Фалеса $$\frac{MP}{PN} = \frac{ME}{EK}$$, где PN = MN - MP = 12 - 8 = 4.

$$\frac{8}{4} = \frac{6}{EK}$$

$$EK = \frac{6 \cdot 4}{8} = 3$$

MK = 6 + 3 = 9

б) Так как PE || NK, то ΔMPE ~ ΔMNK (по двум углам: ∠M - общий, ∠MEP = ∠MKN как соответственные при PE || NK).

Из подобия треугольников следует, что $$\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = (\frac{PE}{NK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: a) MK = 9; б) PE : NK = 2 : 3; в) $$S_{MPE} : S_{MNK} = \frac{4}{9}$$