Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 9. На гипотенузе взята точка M так, что AM : MB = 1 : 2. Найди CM, если BC = 3.

Так как \(AM:MB=1:2\) и \(AB=9\), получаем \(AM=3\), \(MB=6\).

По теореме Пифагора для треугольника ABC: \(AC^2=AB^2-BC^2=9^2-3^2=72\).

Пусть прямой угол находится при C. Введём координаты: \(C=(0,0)\), а векторы \(CA\) и \(CB\) перпендикулярны. Точка M делит AB в отношении 1:2, поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac23\overrightarrow{CA}+\frac13\overrightarrow{CB}\).

Из перпендикулярности катетов следует: \(CM^2=\frac49AC^2+\frac19BC^2=\frac49\cdot72+\frac19\cdot9=32+1=33\).

Ответ: \(CM=\sqrt{33}\).