65. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увели- чится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты треугольника равны $$a$$ и $$b$$, а гипотенуза равна $$c = 13$$. По теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = c^2 = 13^2 = 169$$. Если один из катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Пусть увеличили катет $$a$$ на 4 см, тогда новая гипотенуза равна $$c' = c + 2 = 13 + 2 = 15$$. Тогда $$(a + 4)^2 + b^2 = (c')^2 = 15^2 = 225$$. $$a^2 + 8a + 16 + b^2 = 225$$. $$a^2 + b^2 + 8a + 16 = 225$$. $$169 + 8a + 16 = 225$$. $$8a = 225 - 169 - 16 = 40$$. $$a = \frac{40}{8} = 5 \text{ см}$$. Теперь найдем $$b$$:

$$b^2 = 169 - a^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$ $$b = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Ответ: катеты треугольника равны 5 см и 12 см.