63. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см². Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см².

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда площадь прямоугольника равна $$ab = 30$$. На каждой стороне прямоугольника построен квадрат, поэтому сумма площадей квадратов равна $$2a^2 + 2b^2 = 122$$. Разделим обе части уравнения на 2: $$a^2 + b^2 = 61$$. Известно, что $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$. Следовательно, $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 61 + 2(30) = 61 + 60 = 121$$. Тогда $$a + b = \sqrt{121} = 11$$. Мы знаем, что $$a + b = 11$$ и $$ab = 30$$. Тогда $$a = 11 - b$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$(11 - b)b = 30$$. $$11b - b^2 = 30$$. $$b^2 - 11b + 30 = 0$$. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-11)^2 - 4(1)(30) = 121 - 120 = 1$$ $$b_{1_1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$b_{1_2} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Если $$b = 6$$, то $$a = 11 - 6 = 5$$. Если $$b = 5$$, то $$a = 11 - 5 = 6$$.

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.