2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17см, периметр равен 40см. Найдите его катеты.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза. Из условия известно, что c = 17 см, а периметр P = a + b + c = 40 см. Требуется найти a и b.

Используем теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$

$$a^2 + b^2 = 17^2 = 289$$

Периметр: $$a + b + 17 = 40$$

$$a + b = 40 - 17 = 23$$

Выразим b через a: $$b = 23 - a$$

Подставим в уравнение Пифагора:

$$a^2 + (23 - a)^2 = 289$$

$$a^2 + 529 - 46a + a^2 = 289$$

$$2a^2 - 46a + 529 - 289 = 0$$

$$2a^2 - 46a + 240 = 0$$

$$a^2 - 23a + 120 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно a:

$$D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$$

$$a_1 = \frac{23 + \sqrt{49}}{2} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$a_2 = \frac{23 - \sqrt{49}}{2} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

Если $$a_1 = 15$$, то $$b_1 = 23 - 15 = 8$$

Если $$a_2 = 8$$, то $$b_2 = 23 - 8 = 15$$

Таким образом, катеты равны 8 см и 15 см.

Ответ: 8 см, 15 см