22. Груз массой 50 г, прикрепленный к пружине, жесткость которой равна 0,49 Н/м, совершает колебания. Какой длины надо взять математический маятник, чтобы его частота колебаний была равна частоте колебаний пружинного маятника?

Сначала определим частоту колебаний пружинного маятника. Масса груза должна быть переведена в килограммы: 50 г = 0,05 кг.

Частота колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$

где: k - жесткость пружины (0,49 Н/м), m - масса груза (0,05 кг).

Подставляем значения:

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{0.49 \text{ Н/м}}{0.05 \text{ кг}}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{9.8} \approx \frac{3.13}{2\pi} \approx 0.498 \text{ Гц}$$

Теперь определим длину математического маятника с такой же частотой. Частота колебаний математического маятника определяется формулой:

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$$

где: g - ускорение свободного падения (9,8 м/с²), L - длина маятника.

Приравниваем частоты пружинного и математического маятников:

$$\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}} = 0.498$$

Возводим обе части в квадрат:

$$\frac{g}{4\pi^2 L} = 0.498^2$$

Выражаем L:

$$L = \frac{g}{4\pi^2 \cdot 0.498^2}$$

Подставляем значения:

$$L = \frac{9.8}{4\pi^2 \cdot 0.498^2} \approx \frac{9.8}{4 \cdot 9.87 \cdot 0.248} \approx \frac{9.8}{9.78} \approx 1.002 \text{ м}$$

Ответ: 1.002 м