I.183. Решите неравенство: в) $\dfrac{2}{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x+3}+1>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: I.183. Решите неравенство: в) $\dfrac{2}{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x+3}+1>0$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne1$, $x\ne-\dfrac32$, поскольку $2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$.

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{2}{(2x+3)(x-1)}+\frac{2x+3}{(2x+3)(x-1)}-\frac{2(x-1)}{(2x+3)(x-1)}+1>0.\]

Первые три дроби объединяются:

\[1+\frac{7}{(2x+3)(x-1)}>0\iff\frac{2x^2+x+4}{(2x+3)(x-1)}>0.\]

Квадратный трёхчлен $2x^2+x+4$ всегда положителен, так как его дискриминант равен $1-32=-31<0$. Поэтому требуется:

\[(2x+3)(x-1)>0.\]

Ответ: $x\in\left(-\infty;-\dfrac32\right)\cup(1;+\\infty)$.

I.183. Решите неравенство: в) \(\dfrac{2}{2x^2+x-3}+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x+3}+1>0\).