I. 2. Дан параллелограмм ABCD. BK=KC, CE:ED=2:3, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразите через \(\vec a\) и \(\vec b\) векторы \(\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AE},\overrightarrow{KE}\).

Обозначим точку A за начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а по свойству параллелограмма \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

1. K — середина BC, поэтому \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\).
2. Так как \(CE:ED=2:3\), точка E делит CD в отношении 2:3 от C к D. Следовательно, \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\frac25\overrightarrow{CD}=\vec a+\vec b-\frac25\vec a=\frac35\vec a+\vec b\).
3. \(\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac35-1\right)\vec a+\left(1-\frac12\right)\vec b=-\frac25\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{AE}=\frac35\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{KE}=-\frac25\vec a+\frac12\vec b\).