I вариант. 1. Дан треугольник ABC, E ∈ AB, K ∈ BC, BE:BA = BK:BC = 2:5. Через прямую AC проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. а) Докажите, что EK ∥ α. б) Найдите длину отрезка AC, если EK = 4 см.

а) По условию \(\frac{BE}{BA}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{5}\). По обратной теореме Фалеса \(EK\parallel AC\).

Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) пересекаются по прямой \(AC\). Прямая \(EK\) лежит в плоскости \(ABC\) и параллельна линии её пересечения с \(\alpha\), поэтому \(EK\parallel\alpha\).

б) Из подобия треугольников \(BEK\) и \(BAC\): \(\frac{EK}{AC}=\frac{2}{5}\). Тогда \(AC=EK\cdot\frac{5}{2}=4\cdot\frac{5}{2}=10\) см.

Ответ: а) \(EK\parallel\alpha\); б) \(AC=10\) см.