I вариант. 2. На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A₁, так, что DA₁ = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A₁ и пересекает сторону CD в точке C₁. а) Докажите, что треугольник C₁DA₁ подобен треугольнику ABC. б) Найдите AC, если BC = 10 см, A₁C₁ = 6 см.

а) Плоскость параллельна диагонали \(AC\), поэтому линия её пересечения с плоскостью параллелограмма, \(A₁C₁\), параллельна \(AC\). Кроме того, \(C₁D\parallel AB\) и \(DA₁\parallel BC\), поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны. Следовательно, соответствующие углы треугольников \(C₁DA₁\) и \(ABC\) равны, а треугольники подобны при соответствии вершин \(C₁\leftrightarrow A\), \(D\leftrightarrow B\), \(A₁\leftrightarrow C\).

б) Из подобия \(\frac{A₁C₁}{AC}=\frac{DA₁}{BC}\). Подставим данные: \(\frac{6}{AC}=\frac{4}{10}\). Отсюда \(AC=\frac{6\cdot10}{4}=15\) см.

Ответ: а) \(\triangle C₁DA₁\sim\triangle ABC\); б) \(AC=15\) см.