II вариант. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка C₁, так, что BC₁ = 3 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку C₁ и пересекает сторону AB в точке A₁. а) Докажите, что треугольник C₁BA₁ подобен треугольнику ADC. б) Найдите AD, если AC = 12 см, A₁C₁ = 4 см.

а) Линия пересечения плоскости с плоскостью параллелограмма — \(A₁C₁\); поскольку плоскость параллельна \(AC\), имеем \(A₁C₁\parallel AC\). Также \(C₁B\parallel AD\) и \(BA₁\parallel DC\). Значит, соответствующие углы треугольников \(C₁BA₁\) и \(ADC\) равны, и \(\triangle C₁BA₁\sim\triangle ADC\) при соответствии вершин \(C₁\leftrightarrow A\), \(B\leftrightarrow D\), \(A₁\leftrightarrow C\).

б) Коэффициент подобия малого треугольника к большому: \(\frac{A₁C₁}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). Поэтому \(\frac{C₁B}{AD}=\frac{1}{3}\). Обозначим \(AD=BC=x\). Тогда \(C₁B=BC-BC₁=x-3\), откуда \(\frac{x-3}{x}=\frac{1}{3}\). Решаем: \(3x-9=x\), \(2x=9\), \(x=4.5\) см.

Ответ: а) \(\triangle C₁BA₁\sim\triangle ADC\); б) \(AD=4{,}5\) см.