II вариант. 1. Дан треугольник ABC, M ∈ AB, K ∈ BC, BM:MA = 3:4. Через прямую MK проходит плоскость α, параллельная прямой AC. а) Докажите, что BC:BK = 7:3. б) Найдите длину отрезка MK, если AC = 14 см.

а) Из \(BM:MA=3:4\) следует \(\frac{BM}{BA}=\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}\). Плоскости \(ABC\) и \(\alpha\) пересекаются по прямой \(MK\). Так как \(AC\parallel\alpha\), то \(AC\parallel MK\). По теореме Фалеса \(\frac{BK}{BC}=\frac{BM}{BA}=\frac{3}{7}\), поэтому \(BC:BK=7:3\).

б) Из подобия треугольников \(BMK\) и \(BAC\): \(\frac{MK}{AC}=\frac{BM}{BA}=\frac{3}{7}\). Тогда \(MK=14\cdot\frac{3}{7}=6\) см.

Ответ: а) \(BC:BK=7:3\); б) \(MK=6\) см.