I вариант. 3. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, причём точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Обозначим середину отрезка BD через O.

1. По условию O — центр окружности, диаметром которой является AC. Значит, точка O является серединой диаметра AC: \(OA=OC\). Следовательно, O — середина диагонали AC.
2. Так как O — середина отрезка BD, то \(OB=OD\). Следовательно, O — середина диагонали BD.
3. Итак, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
4. По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: ABCD — параллелограмм.