I вариант, II уровень. 1. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160°? 2. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: AB = AD, BC = CD, O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Сравните периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD.

1. Используем формулу суммы углов: \((n-2)\cdot180^\circ=2160^\circ\). Тогда \(n-2=12\), следовательно, \(n=14\).

2. Из равенств AB=AD и BC=CD следует, что точки A и C равноудалены от B и D. Значит, прямая AC — серединный перпендикуляр к BD. Поскольку O лежит на AC, получаем OB=OD.

Периметры пятиугольников: \(P_{ABCOD}=AB+BC+CO+OD+DA\), \(P_{ABOCD}=AB+BO+OC+CD+DA\). В них равны соответствующие слагаемые: AB, DA, CO=OC, BC=CD и OD=BO. Поэтому периметры равны.

Ответ: в многоугольнике 14 сторон; периметры пятиугольников равны.