I вариант. Решите неравенство.

Решение:

1. \( \log_{4} (x-2) \le 2 \)

ОДЗ: \( x-2 > 0 \) \( \Rightarrow x > 2 \).

Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), неравенство сохраняет знак:

\( x-2 \le 4^2 \)

\( x-2 \le 16 \)

\( x \le 18 \)

Учитывая ОДЗ, получаем \( 2 < x \le 18 \).

2. \( \log_{1/3} (3-2x) \ge -1 \)

ОДЗ: \( 3-2x > 0 \) \( \Rightarrow 3 > 2x \) \( \Rightarrow x < \frac{3}{2} \).

Так как основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), знак неравенства меняется:

\( 3-2x \le (\frac{1}{3})^{-1} \)

\( 3-2x \le 3 \)

\( -2x \le 0 \)

\( x \ge 0 \)

Учитывая ОДЗ, получаем \( 0 \le x < \frac{3}{2} \).

3. \( \lg (2x-5) > \lg (x+1) \)

ОДЗ: \( 2x-5 > 0 \) \( \Rightarrow x > \frac{5}{2} \) и \( x+1 > 0 \) \( \Rightarrow x > -1 \). Общее ОДЗ: \( x > \frac{5}{2} \).

Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), неравенство сохраняет знак:

\( 2x-5 > x+1 \)

\( x > 6 \)

Учитывая ОДЗ, получаем \( x > 6 \).

4. \( \log_{1/2} (x^2-0.5x) \le 1 \)

ОДЗ: \( x^2 - 0.5x > 0 \) \( \Rightarrow x(x-0.5) > 0 \) \( \Rightarrow x < 0 \) или \( x > 0.5 \).

Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), знак неравенства меняется:

\( x^2 - 0.5x \ge (\frac{1}{2})^1 \)

\( x^2 - 0.5x \ge 0.5 \)

\( x^2 - 0.5x - 0.5 \ge 0 \)

Умножим на 2: \( 2x^2 - x - 1 \ge 0 \).

Найдем корни уравнения \( 2x^2 - x - 1 = 0 \): \( D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \). \( x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \). \( x_1 = \frac{1+3}{4} = 1 \), \( x_2 = \frac{1-3}{4} = -0.5 \).

Парабола \( 2x^2 - x - 1 \) направлена ветвями вверх, поэтому \( 2x^2 - x - 1 \ge 0 \) при \( x \le -0.5 \) или \( x \ge 1 \).

Учитывая ОДЗ (\( x < 0 \) или \( x > 0.5 \)), получаем:

\( (x \le -0.5 \) или \( x \ge 1 \) \) И \( (x < 0 \) или \( x > 0.5 \) \).

Пересечение: \( x \le -0.5 \) или \( x \ge 1 \).

5. \( \log_{2} (5x-9) \le \log_{\sqrt{2}} (3x+1) \)

ОДЗ: \( 5x-9 > 0 \) \( \Rightarrow x > \frac{9}{5} \) и \( 3x+1 > 0 \) \( \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \). Общее ОДЗ: \( x > \frac{9}{5} \).

Приведем основания к одному. \( \log_{\sqrt{2}} (3x+1) = \log_{2^{1/2}} (3x+1) = \frac{1}{1/2} \log_{2} (3x+1) = 2 \log_{2} (3x+1) = \log_{2} (3x+1)^2 \).

\( \log_{2} (5x-9) \le \log_{2} (3x+1)^2 \)

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), неравенство сохраняет знак:

\( 5x-9 \le (3x+1)^2 \)

\( 5x-9 \le 9x^2 + 6x + 1 \)

\( 0 \le 9x^2 + x + 10 \)

Найдем дискриминант для \( 9x^2 + x + 10 = 0 \): \( D = 1^2 - 4(9)(10) = 1 - 360 = -359 \).

Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент \( 9 > 0 \), парабола \( 9x^2 + x + 10 \) всегда больше нуля. Следовательно, неравенство \( 9x^2 + x + 10 \ge 0 \) верно для всех \( x \).

Учитывая ОДЗ \( x > \frac{9}{5} \), получаем \( x > \frac{9}{5} \).

Ответ: 1) \( (2; 18] \); 2) \( [0; \frac{3}{2}) \); 3) \( (6; +\infty) \); 4) \( (-\infty; -0.5] \cup [1; +\infty) \); 5) \( (\frac{9}{5}; +\infty) \)