II вариант. Решите неравенство.

Решение:

1. \( \log_{5} (3x+2) \ge 1 \)

ОДЗ: \( 3x+2 > 0 \) \( \Rightarrow x > -\frac{2}{3} \).

Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), неравенство сохраняет знак:

\( 3x+2 \ge 5^1 \)

\( 3x+2 \ge 5 \)

\( 3x \ge 3 \)

\( x \ge 1 \)

Учитывая ОДЗ, получаем \( x \ge 1 \).

2. \( \log_{1/7} (4x-1) < 1 \)

ОДЗ: \( 4x-1 > 0 \) \( \Rightarrow x > \frac{1}{4} \).

Так как основание логарифма \( \frac{1}{7} < 1 \), знак неравенства меняется:

\( 4x-1 > (\frac{1}{7})^1 \)

\( 4x-1 > \frac{1}{7} \)

\( 4x > 1 + \frac{1}{7} \)

\( 4x > \frac{8}{7} \)

\( x > \frac{8}{7 \cdot 4} \)

\( x > \frac{2}{7} \)

Учитывая ОДЗ \( x > \frac{1}{4} \) ( \( \frac{1}{4} = 0.25 \), \( \frac{2}{7} \approx 0.286 \)), получаем \( x > \frac{2}{7} \).

3. \( \lg (3x-7) \ge \lg (x+1) \)

ОДЗ: \( 3x-7 > 0 \) \( \Rightarrow x > \frac{7}{3} \) и \( x+1 > 0 \) \( \Rightarrow x > -1 \). Общее ОДЗ: \( x > \frac{7}{3} \).

Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), неравенство сохраняет знак:

\( 3x-7 \ge x+1 \)

\( 2x \ge 8 \)

\( x \ge 4 \)

Учитывая ОДЗ, получаем \( x \ge 4 \).

4. \( \log_{\sqrt{2}} (x^2) \)

Здесь отсутствует часть неравенства. Если предположить, что это \( \le 4 \), то:

\( \log_{\sqrt{2}} (x^2) \le 4 \)

ОДЗ: \( x^2 > 0 \) \( \Rightarrow x
e 0 \).

\( x^2 \le (\sqrt{2})^4 \)

\( x^2 \le (2^{1/2})^4 \)

\( x^2 \le 2^2 \)

\( x^2 \le 4 \)

\( -2 \le x \le 2 \).

Учитывая ОДЗ \( x
e 0 \), получаем \( [-2; 0) \cup (0; 2] \).

5. \( \log_{2.5} (6x) \)

Здесь отсутствует часть неравенства. Если предположить, что это \( \ge 2 \), то:

\( \log_{2.5} (6x) \ge 2 \)

ОДЗ: \( 6x > 0 \) \( \Rightarrow x > 0 \).

\( 6x \ge (2.5)^2 \)

\( 6x \ge 6.25 \)

\( x \ge \frac{6.25}{6} = \frac{625}{600} = \frac{25}{24} \).

Учитывая ОДЗ \( x > 0 \), получаем \( x \ge \frac{25}{24} \).

Ответ: 1) \( [1; +\infty) \); 2) \( (\frac{2}{7}; +\infty) \); 3) \( [4; +\infty) \); 4) \( [-2; 0) \cup (0; 2] \) (при условии, что \(\le 4\)); 5) \( [\frac{25}{24}; +\infty) \) (при условии, что \(\ge 2\))