II вариант. Решите уравнение.

Решение:

1. \( \log_{0.5} (5+2x) = -1 \)

По определению логарифма: \( 5+2x = (0.5)^{-1} \)

\( 5+2x = 2 \)

\( 2x = 2-5 \)

\( 2x = -3 \)

\( x = -1.5 \)

ОДЗ: \( 5+2x > 0 \) \( \Rightarrow 2x > -5 \) \( \Rightarrow x > -2.5 \). \( -1.5 > -2.5 \), ОДЗ выполнено.

2. \( \log_{2} (x-2) + \lg x = 1 \)

Здесь основания логарифмов разные (2 и 10). Если предположить, что второе логарифм тоже по основанию 2, то:

\( \log_{2} (x-2) + \log_{2} x = 1 \)

ОДЗ: \( x-2 > 0 \) \( \Rightarrow x > 2 \) и \( x > 0 \). Общее ОДЗ: \( x > 2 \).

\( \log_{2} ((x-2)x) = 1 \)

\( x^2 - 2x = 2^1 \)

\( x^2 - 2x - 2 = 0 \)

\( D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12 \). \( x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \).

\( 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732 \). Это больше 2, подходит.

\( 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732 \). Это меньше 2, не подходит.

Если же второе логарифм - десятичный (lg), то уравнение имеет вид \( \log_{2} (x-2) + \lg x = 1 \). Такое уравнение решается численными методами или с помощью графиков, оно не решается стандартными школьными методами.

Предполагаем, что в задании ошибка, и оба логарифма имеют основание 2.

3. \( \log_{\sqrt{6}} (x-1) + \lg x = 1 \)

Аналогично предыдущему пункту, предполагаем, что \( \lg x \) должно быть \( \log_{\sqrt{6}} x \).

\( \log_{\sqrt{6}} (x-1) + \log_{\sqrt{6}} x = 1 \)

ОДЗ: \( x-1 > 0 \) \( \Rightarrow x > 1 \) и \( x > 0 \). Общее ОДЗ: \( x > 1 \).

\( \log_{\sqrt{6}} ((x-1)x) = 1 \)

\( x^2 - x = (\sqrt{6})^1 \)

\( x^2 - x - \sqrt{6} = 0 \)

\( D = (-1)^2 - 4(1)(-\sqrt{6}) = 1 + 4\sqrt{6} \).

\( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4\sqrt{6}}}{2} \).

\( \sqrt{6} \approx 2.45 \). \( 1 + 4(2.45) = 1 + 9.8 = 10.8 \). \( \sqrt{10.8} \approx 3.28 \).

\( x \approx \frac{1 \pm 3.28}{2} \). \( x_1 \approx \frac{4.28}{2} = 2.14 \). \( x_2 \approx \frac{-2.28}{2} = -1.14 \).

Учитывая ОДЗ \( x > 1 \), подходит \( x = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\sqrt{6}}}{2} \).

4. \( \log_{2} (x^2+x-1) \)

Здесь отсутствует часть уравнения (например, равно какой-то константе или другому логарифму). Если предположить, что это \( = 1 \), то:

\( \log_{2} (x^2+x-1) = 1 \)

ОДЗ: \( x^2+x-1 > 0 \). Корни \( x^2+x-1=0 \): \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Значит \( x < \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \) или \( x > \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \).

\( x^2+x-1 = 2^1 \)

\( x^2+x-3 = 0 \)

\( D = 1^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13 \). \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \).

\( \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \approx \frac{-1+3.6}{2} = 1.3 \). \( \frac{-1-\sqrt{13}}{2} \approx \frac{-1-3.6}{2} = -2.3 \).

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5. \( \log_{0.5} (4x-1) \)

Аналогично предыдущему пункту, отсутствует часть уравнения. Если предположить, что это \( = -1 \), то:

\( \log_{0.5} (4x-1) = -1 \)

ОДЗ: \( 4x-1 > 0 \) \( \Rightarrow x > \frac{1}{4} \).

\( 4x-1 = (0.5)^{-1} \)

\( 4x-1 = 2 \)

\( 4x = 3 \)

\( x = \frac{3}{4} \).

\( \frac{3}{4} = 0.75 \). \( 0.75 > 0.25 \), ОДЗ выполнено.

Ответ: 1) \( -1.5 \); 2) \( 1+\sqrt{3} \) (при условии, что \(\lg x\) это \(\log_2 x\)); 3) \( \frac{1 + \sqrt{1 + 4\sqrt{6}}}{2} \) (при условии, что \(\lg x\) это \(\log_{\sqrt{6}} x\)); 4) \( \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \) (при условии, что равно 1); 5) \( \frac{3}{4} \) (при условии, что равно -1)