Самостоятельная работа. I вариант. Решите уравнение.

Решение:

1. \( \log_{\sqrt{2}} (2x-4) = -2 \)

По определению логарифма: \( 2x-4 = (\sqrt{2})^{-2} \)

\( 2x-4 = \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \)

\( 2x-4 = \frac{1}{2} \)

\( 2x = 4 + \frac{1}{2} \)

\( 2x = \frac{8+1}{2} \)

\( 2x = \frac{9}{2} \)

\( x = \frac{9}{4} \)

Проверка ОДЗ: \( 2x-4 > 0 \) \( \Rightarrow 2x > 4 \) \( \Rightarrow x > 2 \). \( \frac{9}{4} = 2.25 \), что больше 2. ОДЗ выполнено.

2. \( \log_{2} (2x-18) + \log_{2} (x-9) = 5 \)

Используем свойство логарифма: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \). ОДЗ: \( 2x-18 > 0 \) \( \Rightarrow x > 9 \) и \( x-9 > 0 \) \( \Rightarrow x > 9 \).

\( \log_{2} ((2x-18)(x-9)) = 5 \)

\( (2x-18)(x-9) = 2^5 \)

\( 2(x-9)(x-9) = 32 \)

\( (x-9)^2 = 16 \)

\( x-9 = \pm 4 \)

\( x-9 = 4 \) \( \Rightarrow x = 13 \)

\( x-9 = -4 \) \( \Rightarrow x = 5 \)

Учитывая ОДЗ \( x > 9 \), подходит только \( x=13 \).

3. \( \lg (x-2) + \lg x = \lg 3 \)

ОДЗ: \( x-2 > 0 \) \( \Rightarrow x > 2 \) и \( x > 0 \). Общее ОДЗ: \( x > 2 \).

\( \lg ((x-2)x) = \lg 3 \)

\( x^2 - 2x = 3 \)

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

\( (x-3)(x+1) = 0 \)

\( x = 3 \) или \( x = -1 \).

Учитывая ОДЗ \( x > 2 \), подходит только \( x = 3 \).

4. \( \log_{2} (x^2+7x-5) = \log_{2} (4x-1) \)

ОДЗ: \( x^2+7x-5 > 0 \) и \( 4x-1 > 0 \) \( \Rightarrow x > \frac{1}{4} \).

\( x^2+7x-5 = 4x-1 \)

\( x^2+3x-4 = 0 \)

\( (x+4)(x-1) = 0 \)

\( x = -4 \) или \( x = 1 \).

Учитывая ОДЗ \( x > \frac{1}{4} \), подходит только \( x = 1 \).

5. \( \log_{\sqrt[3]{23}} (2x-1) - \log_{\sqrt{23}} x = 0 \)

\( \log_{\sqrt[3]{23}} (2x-1) = \log_{\sqrt{23}} x \)

ОДЗ: \( 2x-1 > 0 \) \( \Rightarrow x > \frac{1}{2} \) и \( x > 0 \). Общее ОДЗ: \( x > \frac{1}{2} \).

Так как основания логарифмов разные, приведем их к одному. \( \sqrt[3]{23} = 23^{1/3} \) и \( \sqrt{23} = 23^{1/2} \).

\( \log_{23^{1/3}} (2x-1) = \frac{1}{1/3} \log_{23} (2x-1) = 3 \log_{23} (2x-1) \)

\( \log_{23^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_{23} x = 2 \log_{23} x \)

\( 3 \log_{23} (2x-1) = 2 \log_{23} x \)

\( \log_{23} (2x-1)^3 = \log_{23} x^2 \)

\( (2x-1)^3 = x^2 \)

Это кубическое уравнение, которое сложно решить аналитически. Возможно, в условии ошибка в основаниях или числах. Предположим, что основания были одинаковые, например \( \log_{23} \).

Если бы было: \( \log_{23} (2x-1) - \log_{23} x = 0 \) \( \Rightarrow \log_{23} (2x-1) = \log_{23} x \) \( \Rightarrow 2x-1 = x \) \( \Rightarrow x = 1 \). ОДЗ \( x > 1/2 \) выполнено.

Если основания были \( \sqrt{23} \) и \( \sqrt{23} \), то:

\( \log_{\sqrt{23}} (2x-1) = \log_{\sqrt{23}} x \)

\( 2x-1 = x \)

\( x = 1 \). ОДЗ \( x > 1/2 \) выполнено.

Предположим, что в задании имелось в виду \( \log_{2} \) как основание для обеих частей.

\( \log_{2} (2x-1) - \log_{2} x = 0 \) \( \Rightarrow \log_{2} (2x-1) = \log_{2} x \) \( \Rightarrow 2x-1 = x \) \( \Rightarrow x=1 \). ОДЗ \( x>1/2 \) выполнено.

Если основы были \( \sqrt[3]{23} \) и \( \sqrt[3]{23} \), то:

\( \log_{\sqrt[3]{23}} (2x-1) = \log_{\sqrt[3]{23}} x \) \( \Rightarrow 2x-1 = x \) \( \Rightarrow x = 1 \). ОДЗ \( x>1/2 \) выполнено.

В условиях задачи основания логарифмов разные: \( \sqrt[3]{23} \) и \( \sqrt{23} \). Решим это уравнение, полагая, что основания могут отличаться.

\( \log_{\sqrt[3]{23}} (2x-1) - \log_{\sqrt{23}} x = 0 \)

\( \log_{23^{1/3}} (2x-1) = \log_{23^{1/2}} x \)

\( 3 \log_{23} (2x-1) = 2 \log_{23} x \)

\( \log_{23} (2x-1)^3 = \log_{23} x^2 \)

\( (2x-1)^3 = x^2 \)

\( 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = x^2 \)

\( 8x^3 - 13x^2 + 6x - 1 = 0 \)

У этого уравнения есть корень \( x=1 \). Проверим: \( 8 - 13 + 6 - 1 = 0 \). Подставляем \( x=1 \) в ОДЗ: \( 2(1)-1 = 1 > 0 \) и \( 1 > 0 \). Значит \( x=1 \) является решением.

Ответ: 1) \( \frac{9}{4} \); 2) \( 13 \); 3) \( 3 \); 4) \( 1 \); 5) \( 1 \)