237 Игральную кость бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что шестёрка вы- падет: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 1 раз; г) 6 раз; д) 2 раза; е) ни разу.

Вероятность выпадения шестёрки при одном броске кости равна $$1/6$$. Используем формулу Бернулли: $$P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^(n-k)$$, где $$n = 6$$, $$p = 1/6$$, $$1-p = 5/6$$.

1. а) 3 раза: $$k = 3$$

   $$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$$

   $$P(3) = 20 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{6-3} = 20 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{125}{216} = 20 \cdot \frac{125}{46656} = \frac{2500}{46656} = \frac{625}{11664} \approx 0.0536$$

2. б) 5 раз: $$k = 5$$

   $$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6}{1} = 6$$

   $$P(5) = 6 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^{6-5} = 6 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \frac{5}{6} = 6 \cdot \frac{5}{46656} = \frac{30}{46656} = \frac{5}{7776} \approx 0.00064$$

3. в) 1 раз: $$k = 1$$

   $$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$$

   $$P(1) = 6 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^{6-1} = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} \approx 0.4019$$

4. г) 6 раз: $$k = 6$$

   $$C_6^6 = 1$$

   $$P(6) = 1 \cdot (\frac{1}{6})^6 \cdot (\frac{5}{6})^{6-6} = \frac{1}{46656} \approx 0.0000214$$

5. д) 2 раза: $$k = 2$$

   $$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$$

   $$P(2) = 15 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{6-2} = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{625}{1296} = 15 \cdot \frac{625}{46656} = \frac{9375}{46656} = \frac{3125}{15552} \approx 0.2010$$

6. е) ни разу: $$k = 0$$

   $$C_6^0 = 1$$

   $$P(0) = 1 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^6 = (\frac{5}{6})^6 = \frac{15625}{46656} \approx 0.3349$$

Ответ: а) 0.0536; б) 0.00064; в) 0.4019; г) 0.0000214; д) 0.2010; е) 0.3349