235 В некотором испытании Бернулли успех наступает с вероятностью р = 0,5. Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний: а) наступит ровно 2 успеха; б) наступит ровно 1 успех; в) наступит ровно 3 успеха; г) все испытания окончатся неудачей.

В данной задаче необходимо использовать формулу Бернулли для расчета вероятности k успехов в n независимых испытаниях:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^(n-k)$$, где

• $$P(k)$$ – вероятность наступления k успехов,
• $$C_n^k$$ – количество сочетаний из n по k,
• $$p$$ – вероятность успеха в одном испытании,
• $$n$$ – количество испытаний.

В нашем случае $$n = 4$$, $$p = 0,5$$.

1. а) Наступит ровно 2 успеха: $$k = 2$$.

   $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$

   $$P(2) = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 6 \cdot 0.0625 = 0.375$$

2. б) Наступит ровно 1 успех: $$k = 1$$.

   $$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4$$

   $$P(1) = 4 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{4-1} = 4 \cdot 0.5 \cdot 0.125 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25$$

3. в) Наступит ровно 3 успеха: $$k = 3$$.

   $$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$$

   $$P(3) = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 4 \cdot 0.0625 = 0.25$$

4. г) Все испытания окончатся неудачей: $$k = 0$$.

   $$C_4^0 = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{1 \cdot 4!} = 1$$

   $$P(0) = 1 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0.0625 = 0.0625$$

Ответ: а) 0.375; б) 0.25; в) 0.25; г) 0.0625