236 Найдите вероятность появления ровно трёх орлов, если монету бросают: а) 3 раза; б) 7 раз; в) 9 раз; г) п раз.

Вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна 0,5. Используем формулу Бернулли для расчета вероятности ровно трёх орлов в n бросках: $$P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^(n-k)$$, где k = 3, p = 0.5.

1. а) 3 раза: n = 3

   $$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$$

   $$P(3) = 1 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{3-3} = 1 \cdot 0.125 \cdot 1 = 0.125$$

2. б) 7 раз: n = 7

   $$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

   $$P(3) = 35 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{7-3} = 35 \cdot 0.125 \cdot 0.0625 = 35 \cdot 0.0078125 = 0.2734375 \approx 0.2734$$

3. в) 9 раз: n = 9

   $$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$$

   $$P(3) = 84 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{9-3} = 84 \cdot 0.125 \cdot 0.015625 = 84 \cdot 0.001953125 = 0.1640625 \approx 0.1641$$

4. г) n раз:

   $$P(3) = C_n^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{n-3} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \cdot (0.5)^n$$

Ответ: а) 0.125; б) 0.2734; в) 0.1641; г) $$\frac{n!}{3!(n-3)!} \cdot (0.5)^n$$