486 Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Рассмо- трим случайную величину Т «число попыток». Найдите: a) P(T≤4); б) P(T > 6); в) P(T ≥ 6); г) Т > т.

Ответ:

а) P(T ≤ 4) - вероятность того, что шестерка выпадет не позднее четвертой попытки. Это сумма вероятностей выпадения на первой, второй, третьей и четвертой попытках. \[P(T \le 4) = p + qp + q^2p + q^3p = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^3 \cdot \frac{1}{6}\] \[P(T \le 4) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{216} + \frac{125}{1296} = \frac{216 + 180 + 150 + 125}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0.518\] б) P(T > 6) - вероятность того, что шестерка не выпадет в течение первых шести попыток. Это значит, что первые шесть попыток неудачные. \[P(T > 6) = q^6 = (\frac{5}{6})^6 = \frac{15625}{46656} \approx 0.335\] в) P(T ≥ 6) - вероятность того, что шестерка выпадет на шестой или позже попытке. Это значит, что первые пять попыток неудачные. Тогда: \[P(T \ge 6) = q^5 = (\frac{5}{6})^5 = \frac{3125}{7776} \approx 0.402\] г) \(T > m\) - вероятность того, что шестерка не выпадет в течение первых m попыток. Это значит, что первые m попыток неудачные. \[P(T > m) = q^m = (\frac{5}{6})^m\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что P(T > 6) меньше, чем P(T ≥ 6), так как P(T > 6) исключает возможность выпадения на шестой попытке.

Доп. профит: База. Чем больше значение m в P(T > m), тем меньше вероятность, так как требуется больше неудачных попыток.