Р (У = 1) = р. Докажите, что: 488 Случайная величина Y имеет геометрическое распределение. Известно, что a) P(Y > 4Y ≥ 3) = p; 6) P(Y > k + m | Y ≥ 3) = P(Y > m).

Ответ:

а) Докажем, что P(Y > 4 | Y ≥ 3) = p: Для начала упростим условие Y > 4 | Y ≥ 3. Если Y больше 4, то автоматически Y больше или равно 3. Таким образом, Y > 4 | Y ≥ 3 эквивалентно Y > 4. Теперь рассмотрим условную вероятность: \[P(Y > 4 | Y \ge 3) = \frac{P(Y > 4 \cap Y \ge 3)}{P(Y \ge 3)} = \frac{P(Y > 4)}{P(Y \ge 3)}\] Поскольку Y > 4, то Y ≥ 3 всегда выполняется, поэтому пересечение событий Y > 4 и Y ≥ 3 это просто Y > 4. Вероятность того, что Y > 4, равна \(q^4\), где q = 1 - p. Вероятность того, что Y ≥ 3, равна \(q^2\). Таким образом: \[P(Y > 4 | Y \ge 3) = \frac{q^4}{q^2} = q^2\] Однако, условие P(Y > 4 | Y ≥ 3) = p не выполняется, так как мы получили \(q^2\), а не p. Вероятно, в условии есть опечатка. Если бы требовалось доказать P(Y = 1) = p, то это верно по определению геометрического распределения. б) Докажем, что P(Y > k + m | Y ≥ 3) = P(Y > m): Это свойство отсутствия памяти для геометрического распределения. Нам нужно доказать, что если уже известно, что произошло не менее 3 неудач, то вероятность того, что произойдет еще k + m неудач, равна вероятности того, что произойдет m неудач. Используем формулу условной вероятности: \[P(Y > k + m | Y \ge 3) = \frac{P(Y > k + m \cap Y \ge 3)}{P(Y \ge 3)}\] Поскольку Y > k + m подразумевает Y ≥ 3, то пересечение этих событий равно Y > k + m. Следовательно: \[P(Y > k + m | Y \ge 3) = \frac{P(Y > k + m)}{P(Y \ge 3)} = \frac{q^{k+m}}{q^2} = q^{k+m-2}\] Теперь рассмотрим P(Y > m): \[P(Y > m) = q^m\] Чтобы доказать, что P(Y > k + m | Y ≥ 3) = P(Y > m), нам нужно показать, что \(q^{k+m-2} = q^m\), что неверно в общем случае. Вероятно, в условии есть опечатка, и должно быть Y ≥ k вместо Y ≥ 3. Тогда: \[P(Y > k + m | Y \ge k) = \frac{P(Y > k + m)}{P(Y \ge k)} = \frac{q^{k+m}}{q^{k-1}} = q^{m+1}\] Если же условие было P(Y > k + m | Y ≥ k + 1) = P(Y > m), то: \[P(Y > k + m | Y \ge k+1) = \frac{P(Y > k + m)}{P(Y \ge k+1)} = \frac{q^{k+m}}{q^k} = q^m\] Таким образом, P(Y > k + m | Y ≥ k + 1) = P(Y > m) выполняется.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что понимаешь, как применять формулу условной вероятности и свойство отсутствия памяти в геометрическом распределении.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Свойство отсутствия памяти означает, что прошлое не влияет на будущее, и каждое новое испытание начинается как новое начало. Это важное свойство многих вероятностных моделей.