Игральную кость бросили 13 500 раз. Рассмотрим случайную величину Х, равную числу бросков, при которых: а) выпавшее число очков кратно 3; б) выпала пятёрка. Найдите DX.

a) Выпавшее число очков кратно 3.

В игральной кости 6 граней, и числа, кратные 3, это 3 и 6. Таким образом, вероятность выпадения числа, кратного 3, равна $$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$. Количество бросков $$n = 13500$$.

Математическое ожидание (среднее значение) количества выпадений числа, кратного 3, равно:

$$E(X) = n \cdot p = 13500 \cdot \frac{1}{3} = 4500$$

Дисперсия для биномиального распределения (в данном случае это оно) вычисляется по формуле:

$$D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$$

Подставляем значения:

$$D(X) = 13500 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 13500 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 4500 \cdot \frac{2}{3} = 3000$$

б) Выпала пятёрка.

Вероятность выпадения пятёрки при одном броске игральной кости равна $$p = \frac{1}{6}$$. Количество бросков $$n = 13500$$.

Математическое ожидание (среднее значение) количества выпадений пятёрки равно:

$$E(X) = n \cdot p = 13500 \cdot \frac{1}{6} = 2250$$

Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле:

$$D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$$

Подставляем значения:

$$D(X) = 13500 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(1 - \frac{1}{6}\right) = 13500 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 2250 \cdot \frac{5}{6} = 1875$$

Ответ: а) $$D(X) = 3000$$, б) $$D(X) = 1875$$.