Известно, что 40% жителей города считают, что центральный парк нуждается в реконструкции. Для исследования общественного мнения по этому вопросу добровольцы опросили на улицах 1800 случайных горожан. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение частоты ответа «да» на вопрос «Нужна ли реконструкция в центральном парке?».

Пусть $$p$$ - вероятность того, что случайно выбранный житель города считает, что центральный парк нуждается в реконструкции. По условию, $$p = 0,4$$. Количество опрошенных горожан $$n = 1800$$.

Математическое ожидание (среднее значение) частоты ответа «да» равно:

$$E(X) = n \cdot p = 1800 \cdot 0,4 = 720$$

Дисперсия количества ответов «да» равна:

$$D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1800 \cdot 0,4 \cdot (1 - 0,4) = 1800 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 432$$

Стандартное отклонение количества ответов «да» равно квадратному корню из дисперсии:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \approx 20,78$$

Чтобы найти математическое ожидание и стандартное отклонение *частоты* (а не количества) ответа «да», нужно разделить полученные значения на общее количество опрошенных.

Математическое ожидание частоты ответа «да»:

$$E(\text{частоты}) = \frac{E(X)}{n} = \frac{720}{1800} = 0,4$$

Стандартное отклонение частоты ответа «да»:

$$\sigma(\text{частоты}) = \frac{\sigma(X)}{n} = \frac{\sqrt{432}}{1800} = \frac{12\sqrt{3}}{1800} = \frac{\sqrt{3}}{150} \approx 0,0115$$

Ответ: Математическое ожидание частоты ответа «да» равно 0,4. Стандартное отклонение частоты ответа «да» примерно равно 0,0115.