По полу рассыпали содержимое коробки, в которой было 100 канцелярских кнопок. Кнопка падает остриём вверх с вероятностью 0,36. Найдите дисперсию и стандартное отклонение величины «число кнопок, упавших остриём вверх».

Данная задача представляет собой задачу о схеме Бернулли, где у нас есть $$n = 100$$ независимых испытаний (каждая кнопка падает независимо от других), и вероятность успеха (кнопка падает остриём вверх) в каждом испытании равна $$p = 0,36$$. Необходимо найти дисперсию и стандартное отклонение случайной величины, равной числу успехов.

Дисперсия для схемы Бернулли вычисляется по формуле:

$$D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$$

где:

• $$D(X)$$ - дисперсия,
• $$n$$ - количество испытаний,
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании.

Подставляем значения:

$$D(X) = 100 \cdot 0,36 \cdot (1 - 0,36) = 100 \cdot 0,36 \cdot 0,64 = 36 \cdot 0,64 = 23,04$$

Стандартное отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$$

где:

• $$\sigma(X)$$ - стандартное отклонение,
• $$D(X)$$ - дисперсия.

Подставляем значение:

$$\sigma(X) = \sqrt{23,04} = 4,8$$

Ответ: Дисперсия равна 23,04, стандартное отклонение равно 4,8.