II уровень, I вариант. 2. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по 60°. Найдите отношение оснований.

Пусть меньшее основание равно \(a\), большее — \(b\), высота — \(h\). В прямоугольной трапеции горизонтальная проекция наклонной боковой стороны равна разности оснований \(b-a\).

Из острого угла 60° следует: \(h/(b-a)=\tan 60°=\sqrt3\), то есть \(h=\sqrt3(b-a)\).

Меньшая диагональ соединяет вершину у меньшего основания с противоположной вершиной у большего основания. Угол этой диагонали с меньшим основанием равен 60°, поэтому \(h/a=\tan 60°=\sqrt3\), то есть \(h=\sqrt3a\).

Приравнивая выражения для высоты, получаем \(\sqrt3a=\sqrt3(b-a)\), откуда \(b=2a\).

Ответ: отношение меньшего основания к большему равно 1:2 (большего к меньшему — 2:1).