II уровень, II вариант. 2. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол равен 45°. Найдите отношение оснований.

Обозначим большее основание через \(b\), меньшее — через \(a\), высоту — через \(h\). В прямоугольной трапеции горизонтальная проекция наклонной боковой стороны равна \(b-a\). Так как острый угол равен 45°, \(h=b-a\).

Рассмотрим диагональ, перпендикулярную наклонной боковой стороне. Векторы этих отрезков можно представить как \((b-a,h)\) и \((-(b-a),h)\). Их скалярное произведение равно \(- (b-a)^2+h^2=0\), поэтому \(h=b-a\), что согласуется с углом 45°, но не задаёт отдельно величину \(a\).

Следовательно, указанное условие не определяет единственное отношение оснований: оно выполняется для любого положительного \(a\), если высота и разность оснований равны. Например, при основаниях 1 и 2 можно взять высоту 1; также подходят основания 1 и 3 при высоте 2.

Ответ: отношение оснований однозначно определить нельзя; данных недостаточно.