II уровень, II вариант. 1. В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.

Обозначим меньшее основание через \(a\), тогда большее равно \(2a\). Пусть горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен \(x\), а высота — \(h\). Из равнобедренности и разности оснований следует \(2x=2a-a=a\), поэтому \(x=a/2\).

Рассмотрим вершину тупого угла и середину большего основания. Их горизонтальное расстояние равно половине большего основания минус сдвиг: \(a-x=a/2\). По условию расстояние между точками равно \(a\). По теореме Пифагора \(h^2+(a/2)^2=a^2\), значит \(h=\sqrt3a/2\).

Острый угол трапеции \(\alpha\) удовлетворяет \(\tan\alpha=h/x=(\sqrt3a/2)/(a/2)=\sqrt3\), поэтому \(\alpha=60°\). Смежный с ним угол равен \(120°\).

Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.