III уровень. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 8x - x^2 - 2, y = x + 8.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, сначала нужно найти точки их пересечения, приравняв уравнения:

\( 8x - x^2 - 2 = x + 8 \)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( -x^2 + 8x - x - 2 - 8 = 0 \)

\( -x^2 + 7x - 10 = 0 \)

Умножим на -1 для удобства:

\( x^2 - 7x + 10 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни:

\( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 5 \).

Теперь определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на интервале \( [2, 5] \). Возьмем точку \( x = 3 \) (между 2 и 5):

• Для \( y = 8x - x^2 - 2 \): \( y(3) = 8(3) - (3)^2 - 2 = 24 - 9 - 2 = 13 \).
• Для \( y = x + 8 \): \( y(3) = 3 + 8 = 11 \).

Таким образом, \( y = 8x - x^2 - 2 \) является верхней функцией, а \( y = x + 8 \) — нижней на интервале \( [2, 5] \).

Площадь фигуры \( S \) находится по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx \)

\( S = \int_{2}^{5} ((8x - x^2 - 2) - (x + 8)) dx \)

\( S = \int_{2}^{5} (8x - x^2 - 2 - x - 8) dx \)

\( S = \int_{2}^{5} (-x^2 + 7x - 10) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \right]_{2}^{5} \)

Подставим верхний предел интегрирования (5):

\( -\frac{5^3}{3} + \frac{7(5)^2}{2} - 10(5) = -\frac{125}{3} + \frac{7 \times 25}{2} - 50 = -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \)

Подставим нижний предел интегрирования (2):

\( -\frac{2^3}{3} + \frac{7(2)^2}{2} - 10(2) = -\frac{8}{3} + \frac{7 \times 4}{2} - 20 = -\frac{8}{3} + 14 - 20 = -\frac{8}{3} - 6 \)

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\( S = \big( -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \big) - \big( -\frac{8}{3} - 6 \big) \)

\( S = -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 + \frac{8}{3} + 6 \)

\( S = (-\frac{125}{3} + \frac{8}{3}) + \frac{175}{2} + (-50 + 6) \)

\( S = -\frac{117}{3} + \frac{175}{2} - 44 \)

\( S = -39 + \frac{175}{2} - 44 \)

\( S = -83 + \frac{175}{2} \)

Приведем к общему знаменателю:

\( S = -\frac{166}{2} + \frac{175}{2} = \frac{175 - 166}{2} = \frac{9}{2} \)

\( S = 4.5 \) квадратных единиц.

Ответ: 4.5