Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 65 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Решение:

Пусть \( m_1 = 12 \) кг — масса первого раствора, \( m_2 = 8 \) кг — масса второго раствора.

Пусть \( x \) — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), \( y \) — концентрация кислоты во втором растворе (в долях).

Условие 1: Смешивание всей массы растворов.

Общая масса смеси: \( m_1 + m_2 = 12 + 8 = 20 \) кг.

Масса кислоты в первом растворе: \( 12x \) кг.

Масса кислоты во втором растворе: \( 8y \) кг.

Масса кислоты в смеси: \( 12x + 8y \) кг.

Концентрация кислоты в смеси: 65% или 0.65.

Составим уравнение:

\[ \frac{12x + 8y}{20} = 0.65 \]\[ 12x + 8y = 20 \cdot 0.65 \]\[ 12x + 8y = 13 \quad (*) \]

Условие 2: Смешивание равных масс растворов.

Пусть \( m \) — равная масса, взятая из каждого сосуда. Тогда \( m \) кг первого раствора содержат \( mx \) кг кислоты, а \( m \) кг второго раствора содержат \( my \) кг кислоты.

Общая масса смеси: \( m + m = 2m \) кг.

Масса кислоты в смеси: \( mx + my \) кг.

Концентрация кислоты в смеси: 60% или 0.60.

Составим уравнение:

\[ \frac{mx + my}{2m} = 0.60 \]\[ \frac{m(x + y)}{2m} = 0.60 \]\[ \frac{x + y}{2} = 0.60 \]\[ x + y = 1.20 \]\[ x = 1.20 - y \quad () \]

Решим систему уравнений (*), ()

Подставим \( x \) из () в (*):

\[ 12(1.20 - y) + 8y = 13 \]\[ 14.4 - 12y + 8y = 13 \]\[ 14.4 - 4y = 13 \]\[ 4y = 14.4 - 13 \]\[ 4y = 1.4 \]\[ y = \frac{1.4}{4} = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} = 0.35 \]

Концентрация кислоты во втором растворе \( y = 0.35 \), то есть 35%.

Теперь найдём массу кислоты во втором растворе:

\[ m_{кислоты, 2} = m_2 \cdot y = 8 \text{ кг} \cdot 0.35 = 2.8 \text{ кг} \]

Ответ: 2.8 кг.