Точка Н является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 5, АС = 20.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \angle B = 90^{\circ} \). \( BH \) — высота, проведенная к гипотенузе \( AC \). \( H \) — основание высоты.

По условию дано:

• \( AH = 5 \)
• \( AC = 20 \)

Найдём длину отрезка \( HC \):

\[ HC = AC - AH = 20 - 5 = 15 \]

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) высота \( BH \), проведенная к гипотенузе, обладает свойством:

\[ BH^2 = AH \cdot HC \]\[ BH^2 = 5 \cdot 15 = 75 \]\[ BH = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABH \). По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]\[ AB^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 \]\[ AB^2 = 25 + 75 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

Другой способ решения:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) квадрат катета равен произведению гипотенузы и отрезка, который отсекает высота на гипотенузе, прилежащего к этому катету.

Для катета \( AB \) имеем:

\[ AB^2 = AH \cdot AC \]\[ AB^2 = 5 \cdot 20 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ: 10.