Решите уравнение (x + 2)⁴ + (x + 2)² - 12 = 0.

Решение:

Пусть \( y = (x + 2)^2 \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ y^2 + y - 12 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант равен:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

Корни уравнения для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]\[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = (x + 2)^2 \).

Случай 1: \( y = 3 \)

\[ (x + 2)^2 = 3 \]\[ x + 2 = \pm \sqrt{3} \]\[ x = -2 \pm \sqrt{3} \]

Случай 2: \( y = -4 \)

\[ (x + 2)^2 = -4 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = -2 \pm \sqrt{3} \).