Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
График состоит из двух частей: параболы \( y = -x^2 + 6x - 9 \) при \( x \ge 2 \) и прямой \( y = -x \) при \( x < 2 \).
1. График параболы \( y = -x^2 + 6x - 9 \) при \( x \ge 2 \).
Это парабола ветвями вниз. Найдем вершину параболы:
\[ x_{верш} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3 \]\[ y_{верш} = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 \]Вершина параболы находится в точке \( (3, 0) \).
При \( x = 2 \) (начало интервала):
\[ y = -(2)^2 + 6 \cdot 2 - 9 = -4 + 12 - 9 = -1 \]Точка \( (2, -1) \) является началом луча параболы.
2. График прямой \( y = -x \) при \( x < 2 \).
Это луч, выходящий из точки \( x = 2 \) влево.
При \( x = 2 \) (точка, к которой стремится луч, но не включается):
\[ y = -2 \]Точка \( (2, -2) \) является началом луча прямой (выколотая точка).
При \( x = 0 \): \( y = 0 \).
При \( x = -1 \): \( y = 1 \).
3. Построение графика:
Нарисуем координатную плоскость.
Для параболы \( y = -x^2 + 6x - 9 \) при \( x \ge 2 \):
Отмечаем вершину \( (3, 0) \).
Отмечаем начальную точку \( (2, -1) \).
Рисуем луч, начинающийся из \( (2, -1) \) через вершину \( (3, 0) \) и далее ветвями вниз.
Для прямой \( y = -x \) при \( x < 2 \):
Отмечаем выколотую точку \( (2, -2) \).
Рисуем луч, начинающийся из \( (2, -2) \) влево через точки \( (0, 0) \), \( (-1, 1) \).
4. Определение значений \( m \) для двух общих точек.
Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком, она должна пересекать обе части графика по одному разу.
Рассмотрим, как горизонтальные прямые пересекают построенный график:
- Если \( m > 0 \) (выше оси \( x \)), прямая \( y = m \) пересекает только луч прямой \( y = -x \) (при \( x < 0 \)), давая одну точку.
- Если \( m = 0 \), прямая \( y = 0 \) проходит через вершину параболы \( (3, 0) \) (одна точка) и пересекает луч прямой \( y = -x \) при \( x = 0 \) (вторая точка). Итого две точки.
- Если \( -1 < m < 0 \), прямая \( y = m \) пересекает луч прямой \( y = -x \) (при \( x = -m \)) и луч параболы \( y = -x^2 + 6x - 9 \) (дважды, так как \( m \) находится между \( y_{верш}=0 \) и \( y(2)=-1 \)), давая три точки.
- Если \( m = -1 \), прямая \( y = -1 \) проходит через точку \( (2, -1) \) параболы (одна точка) и пересекает луч прямой \( y = -x \) при \( x = 1 \) (вторая точка). Итого две точки.
- Если \( -2 < m < -1 \), прямая \( y = m \) пересекает луч прямой \( y = -x \) (при \( x = -m \)) и луч параболы \( y = -x^2 + 6x - 9 \) (дважды, так как \( m \) находится между \( y(2)=-1 \) и \( y \to -∞ \) при \( x \to ∞ \)), давая три точки.
- Если \( m = -2 \), прямая \( y = -2 \) проходит через выколотую точку \( (2, -2) \) (не пересекает) и пересекает луч параболы \( y = -x^2 + 6x - 9 \) (одна точка).
- Если \( m < -2 \), прямая \( y = m \) пересекает только луч параболы \( y = -x^2 + 6x - 9 \) (одна точка).
Таким образом, ровно две общие точки получаются при \( m = 0 \) и \( m = -1 \).
Ответ: \( m = 0 \) и \( m = -1 \).
