Integrate \(\int (5x^3 + 3x - 8) dx\)

Краткое пояснение:

Для решения этого интеграла мы применим правило интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) и правило интегрирования константы \(\int c dx = cx + C\).

Пошаговое решение:

1. Разбиваем интеграл на сумму интегралов: \(\( \int (5x^3 + 3x - 8) dx = \int 5x^3 dx + \int 3x dx - \int 8 dx \)\)
2. Интегрируем каждое слагаемое:
• \(\( \int 5x^3 dx = 5 \int x^3 dx = 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 5 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5}{4}x^4 \)\)
• \(\( \int 3x dx = 3 \int x^1 dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2 \)\)
• \(\( \int 8 dx = 8x \)\)
3. Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования C:
\( \frac{5}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 - 8x + C \)