Integrate \(\int \sin^4 x dx\)

Краткое пояснение:

Для вычисления этого интеграла мы будем использовать формулы понижения степени для синуса: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\) и \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\).

Пошаговое решение:

1. Представляем \(\( \sin^4 x \) как \((\sin^2 x)^2\) и применяем формулу понижения степени:
\( \sin^4 x = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{(1 - \cos(2x))^2}{4} = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} \)
2. Снова применяем формулу понижения степени для \(\cos^2(2x)\): \(\( \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} \)\).
3. Подставляем это обратно в выражение:
\( \frac{1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4} = \frac{\frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}}{4} = \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} \)
4. Теперь интегрируем полученное выражение:
\( \int \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8} dx = \frac{1}{8} \int (3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) dx \)
5. Интегрируем каждое слагаемое:
• \(\( \int 3 dx = 3x \)\)
• \(\( \int -4\cos(2x) dx = -4 \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = -2\sin(2x) \)\)
• \(\( \int \cos(4x) dx = \frac{\sin(4x)}{4} \)\)
6. Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования C:
\( \frac{1}{8} \left( 3x - 2\sin(2x) + \frac{\sin(4x)}{4} \right) + C = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C \)