IV. Упростить выражение: (b^(2/3) − a^(2/3)) / ((b^(1/3) + a^(1/3))^2 − 4a^(1/3)b^(1/3)).

Обозначим \(x=\sqrt[3]{b}\), \(y=\sqrt[3]{a}\). Тогда выражение имеет вид:

\(\frac{x^2-y^2}{(x+y)^2-4xy}\).

Разложим числитель и знаменатель:

\(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\);

\((x+y)^2-4xy=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\).

Сокращаем общий множитель \(x-y\):

\(\frac{(x-y)(x+y)}{(x-y)^2}=\frac{x+y}{x-y}\).

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем:

Ответ: \(\frac{\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}}\), при \(\sqrt[3]{b}\ne\sqrt[3]{a}\).