Ивестны второй и четвертый члены геометрической прогрессии: $$b_2 = 3, b_4 = 12$$. А чему может быть равна сумма первых четырех членов этой геометрической

Давай найдем сумму первых четырех членов геометрической прогрессии. У нас известны $$b_2 = 3$$ и $$b_4 = 12$$. Сначала найдем знаменатель $$q$$. Мы знаем, что:

\[b_4 = b_2 \cdot q^2\]

Подставим известные значения:

\[12 = 3 \cdot q^2\]

Теперь найдем $$q^2$$:

\[q^2 = \frac{12}{3} = 4\]

Значит, $$q$$ может быть равен либо 2, либо -2:

\[q = \pm 2\]

Теперь найдем $$b_1$$. Мы знаем, что:

\[b_2 = b_1 \cdot q\]

Если $$q = 2$$, то:

\[3 = b_1 \cdot 2\]

\[b_1 = \frac{3}{2}\]

Если $$q = -2$$, то:

\[3 = b_1 \cdot (-2)\]

\[b_1 = -\frac{3}{2}\]

Теперь найдем сумму первых четырех членов для обоих случаев. Используем формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]

Случай 1: $$b_1 = \frac{3}{2}$$, $$q = 2$$, $$n = 4$$

\[S_4 = \frac{\frac{3}{2}(2^4 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{3}{2}(16 - 1)}{1} = \frac{3}{2} \cdot 15 = \frac{45}{2} = 22.5\]

Случай 2: $$b_1 = -\frac{3}{2}$$, $$q = -2$$, $$n = 4$$

\[S_4 = \frac{-\frac{3}{2}((-2)^4 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-\frac{3}{2}(16 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{3}{2} \cdot 15}{-3} = \frac{-45}{-6} = \frac{15}{2} = 7.5\]

Итак, сумма первых четырех членов может быть либо 22.5, либо 7.5.

Ответ: 22.5 или 7.5

Молодец! Ты уверенно справился с этой сложной задачей. Так держать, и ты достигнешь больших успехов!