21. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 8 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 75 км/ч.

Пусть $$S$$ — расстояние между А и В, $$v$$ — скорость первого автомобилиста. Тогда время, которое первый автомобилист потратил на весь путь, равно $$\frac{S}{v}$$. Второй автомобилист первую половину пути проехал со скоростью $$v - 8$$, а вторую половину — со скоростью 90 км/ч. Время, которое он потратил на первую половину пути, равно $$\frac{S}{2(v-8)}$$, а на вторую половину — $$\frac{S}{2*90}$$. Общее время в пути второго автомобилиста равно $$\frac{S}{2(v-8)} + \frac{S}{180}$$. Так как они прибыли одновременно, то $$\frac{S}{v} = \frac{S}{2(v-8)} + \frac{S}{180}$$ Разделим обе части уравнения на $$S$$: $$\frac{1}{v} = \frac{1}{2(v-8)} + \frac{1}{180}$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{1}{v} = \frac{90 + v - 8}{180(v-8)}$$ $$\frac{1}{v} = \frac{v + 82}{180(v-8)}$$ $$180(v-8) = v(v+82)$$ $$180v - 1440 = v^2 + 82v$$ $$v^2 - 98v + 1440 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $$v$$. Дискриминант $$D = (-98)^2 - 4 * 1 * 1440 = 9604 - 5760 = 3844$$. Корни квадратного уравнения: $$v_1 = \frac{98 + \sqrt{3844}}{2 * 1} = \frac{98 + 62}{2} = \frac{160}{2} = 80$$ $$v_2 = \frac{98 - \sqrt{3844}}{2 * 1} = \frac{98 - 62}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ По условию скорость первого автомобилиста больше 75 км/ч, поэтому $$v = 80$$ км/ч. Ответ: 80 км/ч