Из поселка на станцию, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Решение:

Дано:

S = 32 км

t_встречи = 0.5 ч (время мотоциклиста до встречи)

t_встречи_вело = 0.5 ч (время велосипедиста после выезда мотоциклиста)

v_мот = v_вел + 28 км/ч

Найти:

v_вел, v_мот

Решение:

1. Общее время движения велосипедиста до встречи: \( t_{вел.общ} = 0.5 + 0.5 = 1 \) час.
2. Пусть скорость велосипедиста \( v_{вел} \) км/ч. Тогда скорость мотоциклиста \( v_{мот} = v_{вел} + 28 \) км/ч.
3. Расстояние, которое проехал велосипедист: \( S_{вел} = v_{вел} \cdot t_{вел.общ} = v_{вел} \cdot 1 = v_{вел} \) км.
4. Расстояние, которое проехал мотоциклист: \( S_{мот} = v_{мот} \cdot t_{встречи} = (v_{вел} + 28) \cdot 0.5 \) км.
5. Сумма расстояний равна общему расстоянию: \( S_{вел} + S_{мот} = 32 \) км.
6. \( v_{вел} + (v_{вел} + 28) \cdot 0.5 = 32 \)
7. \( v_{вел} + 0.5v_{вел} + 14 = 32 \)
8. \( 1.5v_{вел} = 32 - 14 \)
9. \( 1.5v_{вел} = 18 \)
10. \( v_{вел} = \frac{18}{1.5} = 12 \) км/ч.
11. Скорость мотоциклиста: \( v_{мот} = v_{вел} + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч.

Проверка:

Велосипедист проехал: \( 12 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 12 \) км.

Мотоциклист проехал: \( 40 \text{ км/ч} \cdot 0.5 \text{ ч} = 20 \) км.

Общее расстояние: \( 12 + 20 = 32 \) км. Верно.

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 40 км/ч.