Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 360 км, выехал автомобиль. Через полчаса после него выехал мотоциклист и на расстоянии 160 км от А догнал автомобиль, а еще через 2,5 часа после этого добрался до пункта В. Найди скорость автомобилиста.

Пошаговое решение:

1. Пусть скорость автомобиля \(v_a\), а скорость мотоциклиста \(v_m\). Время, когда мотоциклист догнал автомобиль, равно \(t\).
2. Мотоциклист выехал на 0,5 часа позже и догнал автомобиль на расстоянии 160 км от A. Значит, \(v_a (t + 0.5) = 160\) и \(v_m t = 160\).
3. Мотоциклист добрался до пункта B (360 км) на 2,5 часа раньше автомобиля. Значит, время мотоциклиста на весь путь \(t_m = \frac{160}{v_m} + 2.5\), а время автомобиля \(t_a = \frac{360}{v_a}\).
4. Так как мотоциклист выехал на 0,5 часа позже, \(\frac{360}{v_a} - \frac{360}{v_m} = 0.5\).
5. Выразим \(v_m\) через \(t\): \(v_m = \frac{160}{t}\). Тогда \(v_a = \frac{160}{t + 0.5}\).
6. Подставим в уравнение: \(\frac{360}{\frac{160}{t + 0.5}} - \frac{360}{\frac{160}{t}} = 0.5\). Упростим: \(\frac{360(t + 0.5)}{160} - \frac{360t}{160} = 0.5\). \(\frac{360t + 180 - 360t}{160} = 0.5\). \(\frac{180}{160} = 0.5\) — неверно, нужно учесть, что мотоциклист добрался до В через 2,5 часа.
7. Время мотоциклиста: \(\frac{360}{v_m} = t - 0.5 + 2.5\), где \(t = \frac{160}{v_m}\). \(\frac{360}{v_m} = \frac{160}{v_m} + 2\). \(\frac{200}{v_m} = 2\). \(v_m = 100\) км/ч.
8. Время автомобиля до встречи с мотоциклистом: \(t = \frac{160}{100} = 1.6\) часа. \(v_a = \frac{160}{1.6 + 0.5} = \frac{160}{2.1} = \frac{1600}{21}\) км/ч.
9. Теперь автомобиль проехал 360 км со скоростью \(v_a\). Время в пути: \(t_a = \frac{360}{\frac{1600}{21}} = \frac{360 \cdot 21}{1600} = \frac{36 \cdot 21}{160} = \frac{9 \cdot 21}{40} = \frac{189}{40} = 4.725\) часа.
10. Мотоциклист проехал 360 км за \(\frac{360}{100} = 3.6\) часа. Разница: \(4.725 - 3.6 = 1.125\) часа (на 0,5 часа позже и на 2,5 часа раньше).

Пусть время, которое автомобиль был в пути до момента, когда его догнал мотоциклист, равно \(t\). Тогда автомобиль проехал 160 км, и \(v_a \cdot t = 160\). Мотоциклист выехал на 0,5 часа позже и догнал автомобиль, значит, \(v_m \cdot (t - 0.5) = 160\).

Мотоциклист проехал оставшиеся \(360 - 160 = 200\) км за 2,5 часа. Значит, скорость мотоциклиста \(v_m = \frac{200}{2.5} = 80\) км/ч.

Теперь мы знаем, что \(80 \cdot (t - 0.5) = 160\), отсюда \(t - 0.5 = 2\), и \(t = 2.5\) часа. Тогда скорость автомобиля \(v_a = \frac{160}{2.5} = 64\) км/ч.

Ответ: 64 км/ч