15. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 208 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч). Тогда скорость катера по течению равна $$(v+5)$$ км/ч, а против течения - $$(v-5)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь из пункта А в пункт В (по течению): $$t_1 = \frac{208}{v+5}$$.

Время, затраченное на путь из пункта В в пункт А (против течения): $$t_2 = \frac{208}{v-5}$$.

По условию, $$t_2 = t_1 - 5$$, то есть $$\frac{208}{v-5} = \frac{208}{v+5} - 5$$.

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{208}{v-5} = \frac{208 - 5(v+5)}{v+5}$$.

$$208(v+5) = (208 - 5v - 25)(v-5)$$.

$$208v + 1040 = (183 - 5v)(v-5)$$.

$$208v + 1040 = 183v - 915 - 5v^2 + 25v$$.

$$5v^2 - 183v - 25v + 208v + 1040 + 915 = 0$$.

$$5v^2 - 100 = 0$$.

$$v^2 - 20v + 391 = 0$$.

Найдем дискриминант: $$D = (-20)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 391 = 400 - 7820 = 400 - 7820 = 7420$$.

Что-то пошло не так. Проверим условие.

$$\frac{208}{v-5} - \frac{208}{v+5} = 5$$.

$$208(v+5) - 208(v-5) = 5(v^2-25)$$.

$$208v + 1040 - 208v + 1040 = 5v^2 - 125$$.

$$5v^2 = 2080 + 125 = 2205$$.

$$v^2 = \frac{2205}{5} = 441$$.

$$v = \sqrt{441} = 21$$.

Ответ: 21