18. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ДАСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Хи У так, что точка Х лежит между точками В и У, AX BX BAX YАХ. Найдите длину отрезка АУ, если АХ 20.

В треугольнике ABC AB = BC, значит треугольник ABC равнобедренный. Так как ∠ACB = 75°, то ∠BAC = ∠ABC = (180° - 75°) / 2 = 105°/2 = 52.5°.

Пусть ∠BAX = ∠YAX = α.

Так как AX = BX, треугольник ABX равнобедренный, значит ∠BAX = ∠ABX = α. Тогда ∠AXB = 180° - 2α.

Так как ∠ABC = 52.5°, то α = 52.5°.

∠BAC = ∠BAX + ∠XAY + ∠YAC = 52.5°. Из условия следует, что ∠BAX = ∠YAX = α = 52.5°.

Тогда ∠BAC = ∠ACB, значит ∠BAX = ∠YAX = ∠YAC = 52.5°/3 = 17.5°.

То есть ∠YAX = 17.5°.

В треугольнике AXY: ∠AXB внешний, значит ∠AXB = ∠YAX + ∠AYX = 2α. То есть ∠AYX = 2α - α = α.

В треугольнике ABX: ∠ABX = α = 52.5°.

∠XAY = ∠BAX.

Получается, что ∠BAX = (180 - 75)/2=52,5 .Но это не так, по рисунку не сходится. Исправим условие: ∠BAX = ∠YAX = ∠CAY . Найти AY, если AX =20.

∠ACB=75⇒∠BAC=∠ABC=52,5 (треуг. равнобедренный AB=BC).

∠BAX = ∠YAX = ∠CAY = 52,5/3 = 17.5

AX = BX ⇒ΔABX равнобедренный⇒∠BAX=∠ABX=17.5

∠AXB=180-∠BAX-∠ABX=180-17.5-17.5=145

∠AXB+∠CXA=180 (смежные углы)⇒∠CXA=180-145=35

В ΔAXC ∠XAC=17.5+17.5=35⇒ ΔAXC равнобедренный⇒AC=XC

BC=AB, AB=AX=20⇒BC=BX=20

BC=XC+BX⇒ AC=BC=20+XC

Рассматриваем ΔABC: ∠ACB = 75⇒AB/sin75=AC/sin52.5

20/sin75 =AC/sin52,5. sin75 = sin(45+30)=sin45cos30+sin30cos45=(√2/2)(√3/2)+(1/2)(√2/2)⇒ (√6+√2)/4

sin52.5=sin(45+7.5) = ??? не табличное значение, тогда условие неверное.

Ответ: Невозможно найти решение из-за некорректных данных в условии задачи.