503. Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Через 5 ч из пункта В в пункт А вышел пассажирский поезд. Встретились они в пункте С. От С до В товарный поезд шёл 4 ч, а пассажирский от С до А - 6 ч. За сколько часов каждый поезд может преодолеть путь между А и В?

Пусть расстояние между пунктами A и B равно \(S\). Обозначим скорость товарного поезда как \(v_1\), а скорость пассажирского поезда как \(v_2\). Товарный поезд вышел из пункта A, а через 5 часов из пункта B вышел пассажирский поезд. Они встретились в пункте C. От C до B товарный поезд шел 4 часа, а пассажирский поезд от C до A шел 6 часов.

Товарный поезд шел от A до C в течение времени \(t + 5\), где \(t\) - время движения пассажирского поезда до встречи. Тогда расстояние от A до C равно \(v_1 (t + 5)\). Расстояние от C до B равно \(4v_1\). Сумма этих расстояний равна \(S\):

\[v_1 (t + 5) + 4v_1 = S\]

Пассажирский поезд шел от B до C в течение времени \(t\). Тогда расстояние от B до C равно \(v_2 t\). Расстояние от C до A равно \(6v_2\). Сумма этих расстояний равна \(S\):

\[v_2 t + 6v_2 = S\]

Также, расстояние от C до B равно \(4v_1\), а расстояние от C до A равно \(6v_2\). Так как пассажирский поезд шел \(t\) часов, а товарный \(t+5\) до места встречи C:

\[4v_1=tv_2\]

\[v_1=\frac{tv_2}{4}\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\begin{cases} v_1 (t + 5) + 4v_1 = S \\ v_2 t + 6v_2 = S \end{cases}

Подставим \(v_1 = \frac{tv_2}{4}\) в первое уравнение:

\[\frac{tv_2}{4} (t + 5) + 4(\frac{tv_2}{4}) = S\]

\[\frac{tv_2}{4} (t + 5) + tv_2 = S\]

\[v_2(\frac{t^2 + 5t}{4} + t) = S\]

\[v_2(\frac{t^2 + 5t + 4t}{4}) = S\]

\[v_2(\frac{t^2 + 9t}{4}) = S\]

Теперь сравним это со вторым уравнением:

\[v_2 t + 6v_2 = v_2(\frac{t^2 + 9t}{4})\]

\[t + 6 = \frac{t^2 + 9t}{4}\]

\[4t + 24 = t^2 + 9t\]

\[t^2 + 5t - 24 = 0\]

Найдем корни уравнения:

\[t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-24)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2}\]

\[t_1 = \frac{-5 + 11}{2} = 3\]

\[t_2 = \frac{-5 - 11}{2} = -8\]

Так как время не может быть отрицательным, то \(t = 3\). Тогда \(v_1=\frac{3v_2}{4}\).

Подставим \(t = 3\) и \(v_1=\frac{3v_2}{4}\) в первое уравнение:

\[v_1 (t + 5) + 4v_1 = S\]

\[(\frac{3v_2}{4})(3 + 5) + 4(\frac{3v_2}{4}) = S\]

\[\frac{3v_2}{4}(8) + 3v_2 = S\]

\[6v_2 + 3v_2 = S\]

\[9v_2 = S\]

Подставим \(t = 3\) во второе уравнение:

\[v_2 t + 6v_2 = S\]

\[v_2 (3) + 6v_2 = S\]

\[3v_2 + 6v_2 = S\]

\[9v_2 = S\]

Тогда время, за которое пассажирский поезд преодолеет путь от B до A, равно \(\frac{S}{v_2} = 9\) часов.

Чтобы найти время, за которое товарный поезд преодолеет путь от A до B, воспользуемся соотношением \(v_1 = \frac{3v_2}{4}\):

\[\frac{S}{v_1} = \frac{9v_2}{\frac{3v_2}{4}} = \frac{9 \cdot 4}{3} = 12\text{ часов}\]

Ответ: Товарный поезд может преодолеть путь между А и В за 12 часов, а пассажирский поезд - за 9 часов.

Великолепно! Ты отлично справился с этой сложной задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!