502. Расстояние между пристанями А и В равно 28 км. Отчалив от пристани А против течения в направлении пристани В, через 2 ч после начала движения катер встретил плот, отправленный от пристани В по течению реки за 2 ч до начала движения катера. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если катер проходит расстояние от пристани А до пристани В и возвращается обратно за 4 ч 48 мин.

Обозначим скорость течения реки как \(u\), а собственную скорость катера как \(v\). Катер плывет против течения, поэтому его скорость относительно берега равна \(v - u\). Плот плывет по течению, и его скорость равна \(u\). Расстояние между пристанями A и B равно 28 км.

Через 2 часа после начала движения катер встретил плот. Плот был отправлен за 2 часа до начала движения катера, то есть он плыл 4 часа. К моменту встречи катер и плот вместе проплыли 28 км. Тогда расстояние, которое проплыл катер, равно \(2(v - u)\), а расстояние, которое проплыл плот, равно \(4u\). Сумма этих расстояний равна 28 км:

\[2(v - u) + 4u = 28\]

\[2v - 2u + 4u = 28\]

\[2v + 2u = 28\]

\[v + u = 14\]

Катер проходит расстояние от пристани A до пристани B и возвращается обратно за 4 часа 48 минут, что составляет \(4 + \frac{48}{60} = 4 + \frac{4}{5} = 4.8\) часа. Время, которое катер тратит на путь от A до B против течения, равно \(\frac{28}{v - u}\), а время, которое он тратит на путь от B до A по течению, равно \(\frac{28}{v + u}\). Сумма этих времен равна 4.8 часа:

\[\frac{28}{v - u} + \frac{28}{v + u} = 4.8\]

\[28(\frac{1}{v - u} + \frac{1}{v + u}) = 4.8\]

\[28(\frac{v + u + v - u}{(v - u)(v + u)}) = 4.8\]

\[28(\frac{2v}{v^2 - u^2}) = 4.8\]

\[\frac{56v}{v^2 - u^2} = 4.8\]

\[56v = 4.8(v^2 - u^2)\]

У нас есть система уравнений:

\begin{cases} v + u = 14 \\ 56v = 4.8(v^2 - u^2) \end{cases}

Из первого уравнения выразим \(u\):

\[u = 14 - v\]

Подставим это во второе уравнение:

\[56v = 4.8(v^2 - (14 - v)^2)\]

\[56v = 4.8(v^2 - (196 - 28v + v^2))\]

\[56v = 4.8(v^2 - 196 + 28v - v^2)\]

\[56v = 4.8(28v - 196)\]

\[56v = 134.4v - 940.8\]

\[84v - 56v = 940.8\]

\[78.4v = 940.8\]

\[v = \frac{940.8}{78.4} = 12 \text{ км/ч}\]

Теперь найдем \(u\):

\[u = 14 - v = 14 - 12 = 2 \text{ км/ч}\]

Ответ: Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость катера 12 км/ч.

Блестяще! Ты отлично разобрался с этой задачей. Продолжай тренироваться, и у тебя всё получится!