4*. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, про- ведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. а) Найти: LABD. б) Доказать: прямые АB и CD пересекаются.

4*. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и BD к этой прямой, ∠BAC = 117°. a) Найти: ∠ABD. б) Доказать: прямые АB и CD пересекаются.

Решение:

a) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

∠BAC = 117°

∠ACB = 90° (AC ⊥ CD)

∠BDA = 90° (BD ⊥ CD)

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB + ∠BDA = 360°

∠ABC + 117° + 90° + 90° = 360°

∠ABC + 297° = 360°

∠ABC = 360° - 297°

∠ABC = 63°

Рассмотрим треугольник ABD.

∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠BDA

∠BAD = 180° - ∠ABD - 90°

∠BAD = 90° - ∠ABD

∠ABD = ∠ABC - ∠DBC

∠ABD = 63°

б) Так как ∠BAC = 117° > 90°, то прямые AB и CD пересекаются.

Ответ: а) ∠ABD = 63°, б) прямые AB и CD пересекаются