Из точки А под углом 40° выходят два луча. На одном выбраны точки В и С (точка В ближе к точке А), на другом выбраны точки D и Е (точка Д ближе к точке А). Точки выбраны так, что DE = СЕ = ВС. Отрезки ВЕ и CD пересекаются в точке G. Найдите градусную меру ∠CGE.

Обозначим \(\angle BAC = 40^\circ\). Так как \(DE = CE = BC\), треугольники \(\triangle BCE\) и \(\triangle CDE\) равнобедренные.

Пусть \(\angle CBE = x\). Тогда \(\angle BCE = x\) и \(\angle BEC = 180^\circ - 2x\). Так как \(CE = DE\), то \(\triangle CDE\) равнобедренный, и \(\angle DCE = \angle CDE = y\), а \(\angle CED = 180^\circ - 2y\).

\(\angle BCD = \angle BCE + \angle DCE = x + y\)

В \(\triangle ACD\) \(\angle CAD = 40^\circ\), \(\angle ACD = x + y\), \(\angle CDA = y\). Тогда сумма углов \(\triangle ACD\):

$$40^\circ + (x + y) + y = 180^\circ$$

$$x + 2y = 140^\circ$$

В \(\triangle ABE\) \(\angle BAE = 40^\circ\), \(\angle ABE = x\), \(\angle AEB = 180^\circ - 2x\). Тогда сумма углов \(\triangle ABE\):

$$40^\circ + x + 180^\circ - 2y = 180^\circ$$

$$40^\circ + x + (180^\circ - 2x) = 180^\circ$$

$$x = 40^\circ$$

Тогда, из уравнения \(x + 2y = 140^\circ\), получаем:

$$40^\circ + 2y = 140^\circ$$

$$2y = 100^\circ$$

$$y = 50^\circ$$

Значит, \(\angle BCE = 40^\circ\) и \(\angle DCE = 50^\circ\). Следовательно, \(\angle BCD = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ\).

В \(\triangle BCG\) \(\angle CBG = 40^\circ\), \(\angle BCG = 90^\circ\), тогда \(\angle CGB = 180^\circ - (40^\circ + 90^\circ) = 50^\circ\). Значит, \(\angle CGE = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).

Ответ: 130