В клубе любителей кошек, собак и хомячков есть 21 девочка, и у каждой ровно два домашних питомца. Например, у одной девочки две кошки, у другой собака и хомячок, у третьей кошка и собака, и т.д. Всего у этих девочек 14 собак, 15 кошек и 13 хомячков. Девочки смогли встать в круг так, что у любых двух девочек, стоящих рядом, нет одинаковых животных. Какое наибольшее число девочек может иметь разных животных?

Пусть:

• К - количество девочек с кошками
• С - количество девочек с собаками
• Х - количество девочек с хомячками

Всего девочек: 21

Всего собак: 14

Всего кошек: 15

Всего хомячков: 13

Варианты питомцев у девочек:

• Кошка + Кошка (КК)
• Собака + Собака (СС)
• Хомячок + Хомячок (XX)
• Кошка + Собака (КС)
• Кошка + Хомячок (КX)
• Собака + Хомячок (СX)

Пусть:

• a - количество девочек с КК
• b - количество девочек с СС
• c - количество девочек с ХХ
• d - количество девочек с КС
• e - количество девочек с КX
• f - количество девочек с СX

Тогда:

• a + b + c + d + e + f = 21
• 2a + d + e = 15 (кошки)
• 2b + d + f = 14 (собаки)
• 2c + e + f = 13 (хомячки)

Суммируем уравнения для питомцев:

2a + d + e + 2b + d + f + 2c + e + f = 15 + 14 + 13

2(a + b + c) + 2(d + e + f) = 42

2(a + b + c + d + e + f) = 42

a + b + c + d + e + f = 21 (что соответствует общему количеству девочек)

Чтобы девочки, стоящие рядом, не имели одинаковых питомцев, необходимо чередовать девочек с разными питомцами.

Максимальное число девочек с разными животными будет, если минимизировать количество девочек с одинаковыми животными (КК, СС, ХХ). Девочки должны чередоваться.

Предположим, что все девочки имеют разных питомцев (КС, КX, СX). Тогда a = b = c = 0.

d + e + f = 21

d + e = 15

d + f = 14

e + f = 13

Выразим d, e, f через d + e + f = 21:

d = 21 - (e + f) = 21 - 13 = 8

e = 21 - (d + f) = 21 - 14 = 7

f = 21 - (d + e) = 21 - 15 = 6

Проверим:

d + e = 8 + 7 = 15 (кошки)

d + f = 8 + 6 = 14 (собаки)

e + f = 7 + 6 = 13 (хомячки)

Все условия соблюдены. Так как d, e, и f > 0, то все девочки имеют разных питомцев, и их можно расставить по кругу так, чтобы рядом не было девочек с одинаковыми питомцами.

Ответ: 21