4. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 6.

Решение: 1. Пусть В и С - точки касания, проведенных из точки А касательных к окружности. Тогда АВ и АС - касательные, а ОВ и ОС - радиусы, проведенные в точки касания. Следовательно, углы ОВА и ОСА - прямые (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). 2. Четырёхугольник АВOС состоит из двух прямоугольных треугольников: АВО и АСО. Угол между касательными (угол ВАС) равен 60°. 3. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Тогда, $$\angle BOC + \angle OBA + \angle OCA + \angle BAC = 360^\circ$$ $$\angle BOC + 90^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 360^\circ$$ $$\angle BOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ 4. Рассмотрим треугольник АВО. Это прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине В. Угол ВАО равен половине угла ВАС (так как касательные, проведенные из одной точки, равны, и отрезок, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными). Следовательно, $$\angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} * 60^\circ = 30^\circ$$ 5. В прямоугольном треугольнике АВО нам известны: катет ОВ (радиус, равен 6) и угол ВАО = 30°. Нужно найти гипотенузу АО (расстояние от точки А до точки О). 6. Используем соотношение между катетом и гипотенузой в прямоугольном треугольнике: $$\sin(\angle BAO) = \frac{OB}{AO}$$ $$\sin(30^\circ) = \frac{6}{AO}$$ $$AO = \frac{6}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12$$ Ответ: Расстояние от точки А до точки О равно 12.