Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 4 см больше другой, а проекци наклонных равны 7 см и 1 см.

1. Пусть из точки К к плоскости проведены две наклонные: КА и КВ. Пусть КА = х, тогда КВ = х + 4.

2. Пусть проекции наклонных равны АО = 1 см и ВО = 7 см, где О - основание перпендикуляра, опущенного из точки К на плоскость.

3. КО - общий перпендикуляр к плоскости. Обозначим его длину как h.

4. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников KAO и KBO:

$$ KA^2 = KO^2 + AO^2 $$

$$ KB^2 = KO^2 + BO^2 $$

5. Подставим известные значения:

$$ x^2 = h^2 + 1^2 $$

$$ (x+4)^2 = h^2 + 7^2 $$

6. Выразим h^2 из первого уравнения: $$ h^2 = x^2 - 1 $$.

7. Подставим h^2 во второе уравнение: $$ (x+4)^2 = x^2 - 1 + 49 $$

8. Раскроем скобки и упростим: $$ x^2 + 8x + 16 = x^2 + 48 $$

9. $$ 8x = 32 $$

10. $$ x = 4 \text{ см} $$

11. KA = 4 см, тогда KB = 4 + 4 = 8 см.

Ответ: 4 см и 8 см